кинетическая энергия при движении планеты вокруг солнца

где С1 постоянная, которая имеет интересную геометри\ческую интерпретацию. Именно, предположим, что тело

Но уравнение (12) дает нам равенство

   Итак, исследование уравнений (4) при начальных условиях (4) свелось к исследованию уравнений (9) и (10) при начальных условиях (11). При этом можно заметить, что уравнение (10) можно переписать в виде

Что же касается начальных условий (5), то в полярных координатах они принимают вид

Если же обе части уравнения (7) умножить на sinφ, а уравнения (8) на cosφ и из первого полученного соотношения вычесть второе, то получим уравнение

Умножая обе части уравнения (7) на cosφ , уравнения (8) на sinφ и складывая результаты, находим, что

Используя последние два равенства, дифференциальные уравнения (4) можно записать в виде

   Таким образом, задача свелась к исследованию уравнений (4) при начальных условиях (5). Исходя из специфики уравнений (4), удобно воспользоваться полярными координатами x=rcosφ, у= rsinφ. А тогда

x=a, у=0, (9), (10), при t = 0.   (5)

Далее, не умаляя общности рассуждений, можно считать, что выполняются следующие условия:

приходим к дифференциальным уравнениям

   Наконец, учитывая, что

где постоянная k=γM

   Принимая же во внимание, что sinφ=y/r, a cosφ=x/r уравнения (2) и (3) можно переписать в виде

   Пусть (рис. 1) Солнце находится в начале координатной системы Оху, а планета в момент времени t находится в точке А с текущими координатами х, у. Сила притяжения F, действующая на планету, раскладывается на две составляющие: параллельную оси х, равную Fcosφ, и параллельную оси у, равную Fsinφ. Используя формулу (1) и второй закон динамики, получаем уравнения

   Основываясь на этом законе, опишем движение планет, считая, что m масса планеты, движущейся вокруг Солнца, М   масса Солнца. Влияние других планет при этом учитывать не будем.

где γ   универсальная постоянная притяжения.

   В соответствии с законом всемирного тяготения любые два тела, находящиеся на расстоянии r друг от друга и имеющие массы m и М соответственно, притягиваются с силой

Законы Кеплера движения планет

Законы Кеплера движения планет